一道绝对值函数问题的改编
问题: 已知 \(f(x)=\sum\limits_{k=1}^{2015}(|x+k|+|x-k|)\). 若 \(f(a^2-a-1)=f(2a-1)\), 则符合条件所有整数 \(a\) 的和为____.
出处: 高三校本作业18
解析: 平底型函数. 偶函数, 在\([-1,1]\)时为水平线段, 在\([1,+\infty)\)上单调递增.
当\(a^2-a-1,2a-1\in[-1,1]\)时, 解得无整数解;
当\(a^2-a-1,2a-1\notin[-1,1]\)时, \(|a^2-a-1|=|2a-1|\), 解得\(a=-2,0,1,3\). 故和为2.
变式1. 集合\(\{a\in\mathbb{Z}|f(a^2-a-1)=f(2a-1)\}\)中所有元素的和为____.
变式2. \(f(a^2-a)=f(2a-1)\) 的所有整数解之和为____.
变式3. 构造相应的方程在\([-1,1]\)上有整数解.
变式4. 在\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)上有重根, 用集合设问.
说明: 问法改变(集合元素互异性), 条件改变(方程或者是不等式), 步长改变(函数变化, 如2014, 如从0开始).