函数单调性应用的一个例子
问题: 单调函数\(y=f(x)(x>0)\)使得\(y=f(a^x)-x\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增, \(y=f(b^x)-x\) 在\(\mathbb{R}\)上单调递减, 且\(a,b>1\). 求证: \(b<a\).
解法一: 因为\(f(a^x)=f(a^x)-x+x\), 所以\(y=f(a^x)\)单调递增, 则\(y=f(x)=f(a^{\log_ax})\)单调递增.
因为\(f(a^x)-f(b^x)=(f(a^x)-x)-(f(b^x)-x)\), 所以\(y=f(a^x)-f(b^x)\)单调递增.
又\(x=0\)时, \(f(a^x)-f(b^x)=0\), 则\(x>0\)时, \(f(a^x)-f(b^x)>0\).
故当\(x>0\)时, \(a^x>b^x\). 又\(a,b>1\), 则\(a>b\).
解法二: (反证法) 显然\(a\neq b\), 假设\(b>a\), 则\(\log_ab>1\)且\(0<\log_ba<1\).
由单调性有\(f(a^1)-1<f(a^{\log_ab})-\log_ab\), \(f(b^1)-1<f(b^{\log_ba})-\log_ba\).
那么\(f(a)-1+\log_ab<f(b)<f(a)+1-\log_ba\), 则\(\log_ab+\log_ba<2\).
而这显然是不成立, 故假设不成立, 所以\(b<a\).