最值定义的等价形式的一个应用
函数最值定义的等价形式:
若不等式\(f(x)\geqslant m\)恒成立, 且方程\(f(x)=m\)有解, 则\(m\)是\(y=f(x)\)的最小值.
这是最小值的充要条件. 最大值类似.
已知函数\(f(x)=\dfrac{x^2+a}{x+1}(a\in\mathbb{R})\).
(1) 用定义证明: 当\(a=3\)时, 函数\(y=f(x)\)在\([1,+\infty)\)上是增函数;
(2) 若函数\(y=f(x)\)在\([1,2]\)上有最小值\(-1\), 求实数\(a\)的值.
分析: 只看(2). 若是将\(f(x)\)变形到\(y=ax+\dfrac{b}{x}\)来做的话, 需要讨论多种情况, 而且要把两种基本类型都讨论了. 如果用上述最值的等价形式, 那么问题就容易多了. 简答如下:
* 当\(x\in[1,2]\)时, \(\dfrac{x^2+a}{x+1}\geqslant-1\)恒成立, 等价于\(x^2+a\geqslant -x-1\), 易得\(a\geqslant-3\).
* 在\(x\in[1,2]\)上, \(\dfrac{x^2+a}{x+1}=-1\)有解, 即\(a=-x^2-x-1\)有解, 易得\(a\in[-7,-3]\).
综上, \(a=-3\).