关于参数讨论的一道小题
题目 已知函数\(f(x)=2mx^2+2(m-4)x+1, g(x)=mx\), 若对于任意实数\(x\), \(f(x)\)与\(g(x)\)至少有一个为正数, 则实数\(m\)的取值范围是___.
答案: \((0,8)\).
分析: \(f(x)=2m(x^2+x)-8x+1\), 过\((0,1)\)与\((-1,9)\). 可惜没什么用.
- 当\(m=0\)时, 不符合题意;
- 当\(m<0\)时, \(f(\pm\infty)<0, g(+\infty)<0\), 不符合题意.
- 当\(m>0\)时, 等价于对任意\(x\leqslant0\), \(f(x)>0\)恒成立.
当\(m>0, x\leqslant0\)时, \(f(x)>0\iff 2m(x^2+x)>8x-1\iff \dfrac{x^2+x}{8x-1}<\dfrac{1}{2m}\).
令\(t=8x-1\in(-\infty,-1]\), 则\(\dfrac{x^2+x}{8x-1}=\dfrac{1}{64}\left(t+\dfrac{9}{t}+10\right)\leqslant\dfrac{4}{64}\) (当且仅当 \(x=-\dfrac{1}{4}\)时等号成立).
易得\(0<m<8\).
注: 其中分离参数的方法是个trick. qed.