函数中不应该出现复数
题目: 已知\(f(x)=\dfrac{1}{2}abx-\log_3(3^x+1)\)为偶函数, \(g(x)=2^x+\dfrac{a+b}{2^x}\)为奇函数, 其中\(a,b\in\mathbb{C}\), 则\(\sum\limits_{k=1}^{2010}(a^k+b^k)\)=___.
答案: 0.
解析: 由\(f(-1)=f(1), g(0)=0\), 易得\(ab=1,a+b=-1\), 此时\(f(x),g(x)\)满足题意.
而\(a,b\)显然是\(x^2+x+1=0\)的两个根,
即\(\{a,b\}=\{\omega,\bar{\omega}\}\), 其中\(\omega\)为1的虚根.
故\(\omega^{3k-2}+\bar{\omega}^{3k-2}=\omega^{3k-1}+\bar{\omega}^{3k-1}=-1\), \(\omega^{3k}+\bar{\omega}^{3k}=2\),
故\(\sum=0\).
注: 在函数中添加复数的知识, 是个不好的苗头. 中学里的函数限定在实数范围里, 要是引入复数的话, 那就过渡到复变函数了. 为了考察复数, 也不应该这样搞啊.